The correct answer is (a) 2 - 4√3. The solution is derived using the concept of the slope (gradient) of a straight line in coordinate geometry.
Fundamental Concept:
The slope 'm' of a line can be calculated in two ways:
1. Using the angle 'θ' it makes with the positive x-axis: m = tan(θ).
2. Using two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) on the line: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).
Step-by-step Solution:
Step 1: Calculate the slope using the given angle.
The problem states that the line makes an angle θ = 150° with the positive x-axis.
Therefore, the slope m = tan(150°).
To find the value of tan(150°), we can use the trigonometric identity tan(180° - α) = -tan(α).
m = tan(180° - 30°) = -tan(30°).
Since tan(30°) = 1/√3, the slope is m = -1/√3.
Step 2: Calculate the slope using the given points.
The line passes through the points (x₁, y₁) = (2, 1) and (x₂, y₂) = (x, 5).
Using the slope formula:
m = (5 - 1) / (x - 2)
m = 4 / (x - 2).
Step 3: Equate the two expressions for the slope and solve for x.
Since both expressions represent the slope of the same line, we can set them equal to each other:
4 / (x - 2) = -1 / √3
Now, we cross-multiply to solve for x:
4 √3 = -1 (x - 2)
4√3 = -x + 2
x = 2 - 4√3
Conclusion:
The calculated value of x is 2 - 4√3, which corresponds to option (a).
Analysis of Other Options:
Option (b) 2 - 4/√3: If x = 2 - 4/√3, the slope would be m = 4 / (-4/√3) = -√3. This corresponds to an angle of 120°, not 150°.Option (c) 2 + 4/√3: If x = 2 + 4/√3, the slope would be m = 4 / (4/√3) = √3. This corresponds to an angle of 60°, not 150°.Option (d) 2 + 4√3: If x = 2 + 4√3, the slope would be m = 4 / (4√3) = 1/√3. This corresponds to an angle of 30°, not 150°. Thus, only option (a) satisfies the conditions given in the question.
सही उत्तर (a) 2 - 4√3 है। इसका हल निर्देशांक ज्यामिति में एक सीधी रेखा की प्रवणता (ढाल) की अवधारणा का उपयोग करके प्राप्त किया गया है।
मूलभूत अवधारणा:
एक रेखा की प्रवणता 'm' की गणना दो तरीकों से की जा सकती है:
1. धनात्मक x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण 'θ' का उपयोग करके: m = tan(θ)।
2. रेखा पर स्थित दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) का उपयोग करके: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)।
चरण-दर-चरण हल:
चरण 1: दिए गए कोण का उपयोग करके प्रवणता की गणना करें।
प्रश्न में कहा गया है कि रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ θ = 150° का कोण बनाती है।
इसलिए, प्रवणता m = tan(150°)।
tan(150°) का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(180° - α) = -tan(α) का उपयोग कर सकते हैं।
m = tan(180° - 30°) = -tan(30°)।
चूंकि tan(30°) = 1/√3 होता है, इसलिए प्रवणता m = -1/√3 है।
चरण 2: दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके प्रवणता की गणना करें।
रेखा बिंदुओं (x₁, y₁) = (2, 1) और (x₂, y₂) = (x, 5) से होकर गुजरती है।
प्रवणता सूत्र का उपयोग करने पर:
m = (5 - 1) / (x - 2)
m = 4 / (x - 2)।
चरण 3: प्रवणता के दोनों व्यंजकों को बराबर करें और x के लिए हल करें।
चूंकि दोनों व्यंजक एक ही रेखा की प्रवणता को दर्शाते हैं, हम उन्हें एक-दूसरे के बराबर रख सकते हैं:
4 / (x - 2) = -1 / √3
अब, x का मान ज्ञात करने के लिए हम वज्र गुणन (cross-multiplication) करेंगे:
4 √3 = -1 (x - 2)
4√3 = -x + 2
x = 2 - 4√3
निष्कर्ष:
x का परिकलित मान 2 - 4√3 है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।
अन्य विकल्पों का विश्लेषण:
विकल्प (b) 2 - 4/√3: यदि x = 2 - 4/√3, तो प्रवणता m = 4 / (-4/√3) = -√3 होगी। यह 120° के कोण के संगत है, 150° के नहीं। विकल्प (c) 2 + 4/√3: यदि x = 2 + 4/√3, तो प्रवणता m = 4 / (4/√3) = √3 होगी। यह 60° के कोण के संगत है, 150° के नहीं। विकल्प (d) 2 + 4√3: यदि x = 2 + 4√3, तो प्रवणता m = 4 / (4√3) = 1/√3 होगी। यह 30° के कोण के संगत है, 150° के नहीं। इस प्रकार, केवल विकल्प (a) ही प्रश्न में दी गई शर्तों को पूरा करता है।
Source/Reference:
स्रोत/संदर्भ:
- NCERT Class XI Mathematics
