The correct answer is (d) G' = G (x'1 / x1)1/n.
This question requires a step-by-step derivation based on the fundamental formula for the Geometric Mean (GM).
1. Definition of Geometric Mean (GM):
The geometric mean of a dataset with 'n' observations (x1, x2,..., xn) is the n-th root of the product of all observations.
Formula: G = (x1 × x2 ×... × xn)1/n
2. Incorrect Calculation:
The problem states that an incorrect geometric mean, G, was calculated using a wrong value x1 instead of the correct value x'1. The other (n-1) observations were correct.
So, the incorrect GM is: G = (x1 × x2 ×... × xn)1/n
3. Finding the Incorrect Product:
To find the product of the observations used in the incorrect calculation, we raise both sides of the equation to the power of 'n':
Gn = x1 × x2 ×... × xn
This is the incorrect product of the observations.
4. Finding the Correct Product:
To get the correct product, we must remove the effect of the incorrect value (x1) and include the effect of the correct value (x'1). We can do this by dividing the incorrect product by x1 and then multiplying by x'1.
Correct Product = (Gn / x1) × x'1
Correct Product = Gn (x'1 / x1)
5. Calculating the Corrected Geometric Mean (G'):
The corrected geometric mean, G', is the n-th root of the correct product.
G' = (Correct Product)1/n
G' = [Gn (x'1 / x1)]1/n
Using the property of exponents (a × b)m = am × bm, we get:
G' = (Gn)1/n × (x'1 / x1)1/n
G' = G(n × 1/n) × (x'1 / x1)1/n
G' = G1 × (x'1 / x1)1/n
Therefore, G' = G (x'1 / x1)1/n
Analysis of Other Options:
Option (a): G' = G + (x'1 - x1) is conceptually incorrect. Additive corrections are used for arithmetic mean, not geometric mean which is based on multiplication.Option (b): G' = G1/n + x'1 is mathematically inconsistent and does not follow any statistical principles.Option (c): G' = G (x'1 / x1) is incorrect because it misses the crucial n-th root (the 1/n exponent) on the correction factor.
सही उत्तर (d) G' = G (x'1 / x1)1/n है।
इस प्रश्न के लिए गुणोत्तर माध्य (GM) के मूल सूत्र पर आधारित चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति की आवश्यकता है।
1. गुणोत्तर माध्य (GM) की परिभाषा:
'n' प्रेक्षणों (x1, x2,..., xn) वाले डेटासेट का गुणोत्तर माध्य सभी प्रेक्षणों के गुणनफल का n-वाँ मूल होता है।
सूत्र: G = (x1 × x2 ×... × xn)1/n
2. गलत गणना:
प्रश्न में कहा गया है कि एक गलत गुणोत्तर माध्य, G, की गणना सही मान x'1 के बजाय गलत मान x1 का उपयोग करके की गई थी। अन्य (n-1) प्रेक्षण सही थे।
तो, गलत GM है: G = (x1 × x2 ×... × xn)1/n
3. गलत गुणनफल ज्ञात करना:
गलत गणना में प्रयुक्त प्रेक्षणों का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 'n' की घात तक बढ़ाते हैं:
Gn = x1 × x2 ×... × xn
यह प्रेक्षणों का गलत गुणनफल है।
4. सही गुणनफल ज्ञात करना:
सही गुणनफल प्राप्त करने के लिए, हमें गलत मान (x1) के प्रभाव को हटाना होगा और सही मान (x'1) के प्रभाव को शामिल करना होगा। हम गलत गुणनफल को x1 से विभाजित करके और फिर x'1 से गुणा करके ऐसा कर सकते हैं।
सही गुणनफल = (Gn / x1) × x'1
सही गुणनफल = Gn (x'1 / x1)
5. संशोधित गुणोत्तर माध्य (G') की गणना:
संशोधित गुणोत्तर माध्य, G', सही गुणनफल का n-वाँ मूल है।
G' = (सही गुणनफल)1/n
G' = [Gn (x'1 / x1)]1/n
घातांक के गुण (a × b)m = am × bm का उपयोग करने पर, हम पाते हैं:
G' = (Gn)1/n × (x'1 / x1)1/n
G' = G(n × 1/n) × (x'1 / x1)1/n
G' = G1 × (x'1 / x1)1/n
अतः, G' = G (x'1 / x1)1/n
अन्य विकल्पों का विश्लेषण:
विकल्प (a): G' = G + (x'1 - x1) अवधारणात्मक रूप से गलत है। योगात्मक संशोधन समांतर माध्य के लिए उपयोग किए जाते हैं, गुणोत्तर माध्य के लिए नहीं जो गुणन पर आधारित है। विकल्प (b): G' = G1/n + x'1 गणितीय रूप से असंगत है और किसी भी सांख्यिकीय सिद्धांत का पालन नहीं करता है। विकल्प (c): G' = G (x'1 / x1) गलत है क्योंकि इसमें संशोधन कारक पर महत्वपूर्ण n-वाँ मूल (1/n घातांक) नहीं है।
Source/Reference:
स्रोत/संदर्भ:
- NCERT Class XI Statistics for Economics
- Fundamental of Mathematical Statistics by S.C. Gupta & V.K. Kapoor
