The correct answer is (a) 108.
This question tests the properties of the 'Range' as a measure of statistical dispersion, specifically how it is affected by changes of scale and origin.
Understanding the Concept of Range:
The range of a dataset is the difference between the highest (maximum) and the lowest (minimum) values in the set.
Formula: Range = Maximum Value (Max) – Minimum Value (Min).
Effect of Transformations on Range:
1. Change of Origin (Addition or Subtraction): If a constant value is added to or subtracted from every observation in the dataset, the range remains unchanged. Let's say we add a constant 'k' to each observation.
New Max = Max + k
New Min = Min + k
New Range = (Max + k) – (Min + k) = Max + k – Min – k = Max – Min = Original Range.
Thus, adding 5 to each observation will not change the range.
2. Change of Scale (Multiplication or Division): If every observation in the dataset is multiplied by a constant value 'c', the range is also multiplied by the absolute value of that constant, |c|.
New Max = Max × c
New Min = Min × c
New Range = (Max × c) – (Min × c) = c × (Max – Min) = c × Original Range.
Thus, multiplying each observation by 3 will multiply the range by 3.
Applying to the Given Problem:
Original Range = 36.Step 1: Each observation is multiplied by 3 (Change of Scale).
The new range will be the original range multiplied by 3.
New Range = 36 × 3 = 108.Step 2: Each observation is then increased by 5 (Change of Origin).
Adding a constant to all observations does not affect the range. Therefore, the range calculated in Step 1 remains unchanged.
Final Range = 108.Conclusion:
The transformation of multiplying by 3 scales the range by a factor of 3, while the transformation of adding 5 has no effect on the range. Therefore, the range of the transformed data is 108.
सही उत्तर (a) 108 है।
यह प्रश्न सांख्यिकीय प्रकीर्णन के एक माप के रूप में 'परिसर' (परास) के गुणों का परीक्षण करता है, विशेष रूप से यह पैमाने (scale) और मूल (origin) के परिवर्तन से कैसे प्रभावित होता है।
परिसर (परास) की अवधारणा को समझना:
किसी डेटासेट का परिसर (परास) उस सेट में उच्चतम (अधिकतम) और निम्नतम (न्यूनतम) मानों के बीच का अंतर होता है।
सूत्र: परिसर = अधिकतम मान (Max) – न्यूनतम मान (Min)।
परिसर पर परिवर्तनों का प्रभाव:
1. मूल बिंदु का परिवर्तन (जोड़ना या घटाना): यदि डेटासेट में प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिर मान जोड़ा या घटाया जाता है, तो परिसर अपरिवर्तित रहता है। मान लीजिए हम प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक 'k' जोड़ते हैं।
नया अधिकतम मान = Max + k
नया न्यूनतम मान = Min + k
नया परिसर = (Max + k) – (Min + k) = Max + k – Min – k = Max – Min = मूल परिसर।
इस प्रकार, प्रत्येक प्रेक्षण में 5 जोड़ने से परिसर में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
2. पैमाने का परिवर्तन (गुणा या भाग): यदि डेटासेट में प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिर मान 'c' से गुणा किया जाता है, तो परिसर भी उस स्थिरांक के निरपेक्ष मान, |c|, से गुणा हो जाता है।
नया अधिकतम मान = Max × c
नया न्यूनतम मान = Min × c
नया परिसर = (Max × c) – (Min × c) = c × (Max – Min) = c × मूल परिसर।
इस प्रकार, प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा करने पर परिसर 3 से गुणा हो जाएगा।
दी गई समस्या पर इसे लागू करना:
मूल परिसर = 36। चरण 1: प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाता है (पैमाने का परिवर्तन)।
नया परिसर, मूल परिसर का 3 गुना होगा।
नया परिसर = 36 × 3 = 108। चरण 2: फिर प्रत्येक प्रेक्षण को 5 से बढ़ाया जाता है (मूल बिंदु का परिवर्तन)।
सभी प्रेक्षणों में एक स्थिरांक जोड़ने से परिसर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, चरण 1 में गणना किया गया परिसर अपरिवर्तित रहेगा।
अंतिम परिसर = 108। निष्कर्ष:
3 से गुणा करने का परिवर्तन परिसर को 3 के गुणक से बढ़ा देता है, जबकि 5 जोड़ने के परिवर्तन का परिसर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, परिवर्तित डेटा का परिसर 108 है।
Source/Reference:
स्रोत/संदर्भ:
- NCERT Class XI - Statistics for Economics
